Máy Tính

Tính Giới Hạn Dãy Số Bằng Máy Tính Casio fx-580VN X

Posted on by
Tính Giới Hạn Dãy Số Bằng Máy Tính Casio fx-580VN X
13
Th9
Trang Chủ / Máy Tính / Tính Giới Hạn Dãy Số Bằng Máy Tính Casio fx-580VN X

Trong quá trình học tập và ôn thi môn Toán, đặc biệt là chuẩn bị cho Kỳ thi THPT Quốc gia, việc tính giới hạn dãy số bằng máy tính và hàm số là một kỹ năng quan trọng. Mặc dù các dòng máy tính khoa học như Casio fx-580VN X không có chức năng tích hợp trực tiếp để tính giới hạn, nhưng với thủ thuật thông minh thông qua tính năng CALC, bạn hoàn toàn có thể kiểm tra và xác định giới hạn một cách nhanh chóng và chính xác. Bài viết này từ lavender-panther-755911.hostingersite.com sẽ hướng dẫn chi tiết cách tận dụng tối đa chiếc máy tính của bạn để giải quyết các bài toán giới hạn, giúp bạn tiết kiệm thời gian và nâng cao hiệu quả học tập.

Table of Contents

Tổng Quan Về Giới Hạn Dãy Số và Hàm Số Trong Toán Học

Giới hạn là một khái niệm cơ bản và cực kỳ quan trọng trong giải tích toán học, là nền tảng để hiểu về đạo hàm, tích phân và sự liên tục. Nắm vững cách tính giới hạn dãy số bằng máy tính và hàm số không chỉ giúp học sinh giải quyết các bài tập cụ thể mà còn phát triển tư duy logic và khả năng phân tích vấn đề.

Giới hạn của dãy số mô tả xu hướng của các phần tử trong một dãy khi số thứ tự của chúng tiến tới vô cùng. Khi một dãy số hội tụ về một giá trị hữu hạn, giá trị đó chính là giới hạn của dãy. Ngược lại, nếu dãy số không hội tụ về một giá trị hữu hạn (ví dụ, nó tiến tới vô cùng dương hoặc vô cùng âm, hoặc dao động không xác định), thì dãy đó không có giới hạn hữu hạn.

Tương tự, giới hạn của hàm số mô tả giá trị mà hàm số “tiếp cận” khi biến số độc lập tiến đến một điểm cụ thể hoặc tiến đến vô cùng. Việc xét giới hạn hàm số rất quan trọng trong việc xác định tính liên tục của hàm số, tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số, và giải quyết các bài toán liên quan đến sự thay đổi tức thời.

Trong bối cảnh Kỳ thi THPT Quốc gia, các bài toán về giới hạn thường xuất hiện dưới dạng trắc nghiệm, đòi hỏi học sinh phải có khả năng tính toán nhanh và chính xác. Đây là lúc chiếc máy tính Casio fx-580VN X trở thành một công cụ hỗ trợ đắc lực. Mặc dù không phải là một “phép màu” thay thế hoàn toàn kiến thức nền tảng, việc biết cách sử dụng máy tính để tính giới hạn dãy số bằng máy tính sẽ giúp bạn kiểm tra đáp án, loại trừ phương án sai, hoặc thậm chí là tìm ra kết quả trong những trường hợp phức tạp, từ đó tối ưu hóa thời gian làm bài.

Kỹ Thuật Tính Giới Hạn Dãy Số Bằng Máy Tính Casio fx-580VN X

Mặc dù máy tính Casio fx-580VN X không có chức năng riêng để tính giới hạn, chúng ta có thể lợi dụng tính năng CALC để xấp xỉ giá trị giới hạn. Ý tưởng cơ bản là khi $n$ (hoặc $x$) tiến đến vô cùng, chúng ta sẽ thay một giá trị rất lớn vào biến số để xem hàm số/dãy số tiến về giá trị nào.

Xem Thêm Bài Viết:

Thuật Giải Tổng Quát Để Tính Giới Hạn Dãy Số

Để tính giới hạn dãy số bằng máy tính Casio fx-580VN X, bạn cần thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Nhập dãy số vào máy tính.
Do máy tính không có biến $n$ đặc trưng cho dãy số, chúng ta sẽ thay biến $n$ bằng biến $x$ (hoặc bất kỳ biến nào máy tính hỗ trợ) trong biểu thức của dãy số. Ví dụ, nếu dãy số là $u_n = frac{3n^2 – n}{1+n^2}$, bạn sẽ nhập vào máy tính là $frac{3X^2 – X}{1+X^2}$.

Bước 2: Sử dụng tính năng CALC.
Nhấn phím CALC. Khi máy tính hỏi giá trị của biến (ví dụ: “X?”), bạn nhập một số rất lớn để mô phỏng $n to +infty$. Giá trị thường được dùng là $10^9$ (tức là 1 tỷ).
Sau khi nhập $10^9$, nhấn phím =.

Bước 3: Đọc và phân tích kết quả hiển thị trên màn hình.
Tùy thuộc vào dạng kết quả, chúng ta có thể suy luận ra giới hạn của dãy số:

  • Trường hợp 1: Kết quả là một số rất lớn dương có dạng $a times 10^n$ với $(a in mathbb{R}^+, n in mathbb{N}^)$. Điều này cho thấy dãy số đang tăng lên vô hạn.
    • Đáp án là $+infty$.
  • Trường hợp 2: Kết quả là một số rất lớn âm có dạng $-a times 10^n$ với $(a in mathbb{R}^+, n in mathbb{N}^)$. Điều này cho thấy dãy số đang giảm xuống vô hạn.
    • Đáp án là $-infty$.
  • Trường hợp 3: Kết quả là một số rất gần 0 có dạng $a times 10^{-n}$ với $(a in mathbb{R}, n in mathbb{N}^)$.
    • Đáp án là $0$.
  • Trường hợp 4: Kết quả là số thập phân vô hạn tuần hoàn (hoặc một số hữu hạn có thể chuyển đổi thành số nguyên/phân số).
    • Đáp án là giá trị chính xác mà số thập phân đó đại diện. Bạn cần thực hiện thêm bước chuyển đổi để có kết quả chính xác.
  • Trường hợp 5: Kết quả là số thập phân vô hạn không tuần hoàn.
    • Đáp án là giá trị xấp xỉ hiển thị trên màn hình. Trong toán học, đây thường là các số vô tỉ như $sqrt{2}$, $pi$, $e$, v.v.

Những Lưu Ý Quan Trọng Khi Tính Giới Hạn Bằng Máy Tính

Để đảm bảo kết quả chính xác và tránh nhầm lẫn khi tính giới hạn dãy số bằng máy tính, bạn cần lưu ý một số điểm sau:

  • Xử lý lỗi Math ERROR: Đôi khi, khi bạn nhập $10^9$ vào một biểu thức phức tạp, máy tính có thể báo lỗi Math ERROR. Điều này xảy ra khi giá trị tính toán vượt quá khả năng lưu trữ hoặc xử lý của máy (quá lớn hoặc quá bé). Trong trường hợp này, bạn nên giảm giá trị của số mũ xuống, thử với $10^8, 10^7, dots, 10^1$ cho đến khi máy tính có thể tính toán được. Giá trị $10^6$ hoặc $10^7$ thường là đủ lớn để mô phỏng vô cùng trong hầu hết các trường hợp.
  • Phân biệt thập phân vô hạn tuần hoàn và không tuần hoàn: Đây là hai trường hợp dễ gây nhầm lẫn nhất. Máy tính chỉ hiển thị một số chữ số thập phân.
    • Nếu bạn thấy một chuỗi số lặp lại (ví dụ: $2.999999999$, có thể là $3$; $0.333333333$, có thể là $1/3$), đó khả năng cao là số thập phân vô hạn tuần hoàn.
    • Để kiểm tra, bạn có thể CALC với các giá trị khác nhau như $10^6, 10^{10}, 10^{12}$. Nếu chuỗi số lặp lại vẫn giữ nguyên hoặc trở nên rõ ràng hơn, đó là số tuần hoàn.
    • Các số vô hạn không tuần hoàn như $sqrt{2} approx 1.414213562$, $pi approx 3.141592654$, $e approx 2.718281828$ sẽ hiển thị các chữ số không lặp lại theo quy luật rõ ràng.
Màn hình hiển thị Nhận xét
$2.999999999$ Khả năng cao là $3$
$-2.000000002$ Khả năng cao là $-2$
$0.4999999567$ Khả năng cao là $0.5$ hay $1/2$
$0.250000003$ Khả năng cao là $0.25$ hay $1/4$
$2.357575758$ Phần tuần hoàn là $57$, khả năng cao là $2.3(57)$
$1.414213562$ Số thập phân vô hạn không tuần hoàn ($sqrt{2}$)
$3.141592654$ Số thập phân vô hạn không tuần hoàn ($pi$)
$2.718281828$ Số thập phân vô hạn không tuần hoàn ($e$)

  • Chuyển số thập phân vô hạn tuần hoàn sang dạng phân số: Khi kết quả rơi vào Trường hợp 4, bạn cần chuyển đổi nó về dạng phân số hoặc số nguyên để có đáp án chính xác.

    • Ví dụ, để chuyển $2.357575758$ (thực chất là $2.3(57)$):

      • Xác định phần nguyên: $2$

      • Xác định phần thập phân không tuần hoàn: $3$

      • Xác định phần thập phân tuần hoàn: $57$

      • Sử dụng công thức chuyển đổi: $N = text{phần nguyên} + frac{text{phần không tuần hoàn} times 10^k + text{phần tuần hoàn}}{10^k times (10^m – 1)}$, với $k$ là số chữ số không tuần hoàn, $m$ là số chữ số tuần hoàn.

      • Trên máy tính Casio fx-580VN X, bạn có thể nhập phần nguyên, sau đó nhập dấu phẩy và phần thập phân không tuần hoàn, tiếp theo là ký hiệu tuần hoàn (thường là dấu gạch ngang trên các số lặp lại, nhưng trên máy tính thì bạn chỉ cần hiểu số đó là $2.35757575…$). Với Casio fx-580VN X, bạn nhập số thập phân, nhấn S-D để chuyển đổi sang phân số nếu máy có thể nhận diện. Hoặc thủ công hơn, nhập: 2 + 3/10 + 57/990 (tức là $2 + 0.3 + 0.0(57)$).

      • Để nhập số tuần hoàn như $2.3(57)$ trên Casio fx-580VN X, bạn có thể nhập $2 + 0.3 + 0.0575757…$. Một cách khác là sử dụng phím SHIFT + REC (phím trên dấu phẩy) để nhập dấu gạch ngang trên phần tuần hoàn. Ví dụ, để nhập $2.3(57)$, bạn nhập $2.overline{357}$ không chính xác. Cách đơn giản hơn là giả định chu kỳ và dùng tính năng chuyển đổi. Với $2.357575758$, bạn nhập $2 + frac{3}{10} + frac{57}{990}$ (nếu bạn biết $2.3(57)$), hoặc trực tiếp nhập $2.35757575757…$ nhiều lần cho đến khi máy tự động chuyển đổi. Máy tính sẽ hiển thị $2335/990$ sau khi bấm phím =.

        Hướng dẫn chuyển đổi số thập phân vô hạn tuần hoànHướng dẫn chuyển đổi số thập phân vô hạn tuần hoàn

        Đây là giao diện minh họa các bước nhập để chuyển đổi số thập phân vô hạn tuần hoàn sang dạng phân số trên máy tính Casio fx-580VN X, giúp người dùng dễ dàng thu được kết quả chính xác từ các phép tính giới hạn.

        Màn hình hiển thị kết quả chuyển đổiMàn hình hiển thị kết quả chuyển đổi

        Sau khi thực hiện các thao tác, màn hình máy tính Casio fx-580VN X sẽ hiển thị kết quả của số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng phân số, cho phép xác định giới hạn một cách chính xác.

Ví Dụ Minh Họa Về Tính Giới Hạn Dãy Số

Để giúp bạn dễ hình dung cách tính giới hạn dãy số bằng máy tính, hãy cùng xem xét một số ví dụ thực tế.

Ví dụ 1.4.1: Giới hạn của biểu thức phân thức

Tính $lim frac{3n^2 – n}{1+n^2}$

Đây là một dạng giới hạn quen thuộc, thường được giải bằng cách chia cả tử và mẫu cho $n^2$. Tuy nhiên, với máy tính, chúng ta sẽ làm như sau:

Bước 1: Nhập dãy số vào máy tính.
Nhập biểu thức $frac{3X^2 – X}{1+X^2}$ vào máy.

Bước 2: Sử dụng phím CALC.
Nhấn phím CALC. Khi máy hỏi “X?”, nhập $10^9$. Sau đó, nhấn phím =.

Kết quả tính giới hạn dãy số bằng máy tính cho ví dụ 1.4.1Kết quả tính giới hạn dãy số bằng máy tính cho ví dụ 1.4.1

Bước 3: Quan sát kết quả.
Màn hình hiển thị kết quả là $2.999999999$. Dựa vào các lưu ý đã nêu, đây là một số thập phân vô hạn tuần hoàn, rất gần với $3$.
Số thập phân vô hạn tuần hoàn $2.(9)$ khi chuyển sang dạng thức mặc định của máy tính (hoặc theo quy tắc toán học) chính là $3$.
Vậy, giới hạn cần tìm là $3$.

Ví dụ 1.4.2: Giới hạn của biểu thức mũ

Tính $lim frac{2.3+5^n}{13^n.11+7}$

Đây là giới hạn của dãy số có chứa số mũ, thường được giải bằng cách chia cả tử và mẫu cho cơ số lớn nhất.

Bước 1: Nhập dãy số vào máy tính.
Nhập biểu thức $frac{2.3+5^X}{13^X.11+7}$ vào máy.

Bước 2: Sử dụng phím CALC.
Nhấn phím CALC. Khi máy hỏi “X?”, nhập $10^9$. Sau đó, nhấn phím =.

Lỗi Math ERROR khi tính giới hạn mũ với X lớnLỗi Math ERROR khi tính giới hạn mũ với X lớn

Thông báo lỗi Math ERROR trên Casio fx-580VN XThông báo lỗi Math ERROR trên Casio fx-580VN X

Máy tính báo lỗi Math ERROR. Điều này là do giá trị $13^{10^9}$ vượt quá khả năng tính toán của máy. Chúng ta cần giảm giá trị của $X$ xuống.

Bước 2 (Thử lại):
Nhấn phím CALC và nhập một giá trị nhỏ hơn, ví dụ $10^1 = 10$. Nhấn phím =.

Tính giới hạn dãy số bằng máy tính với X nhỏ hơnTính giới hạn dãy số bằng máy tính với X nhỏ hơn

Bước 3: Quan sát kết quả.
Màn hình hiển thị kết quả là $0.00000000000…$ (một số rất gần 0, cụ thể là $3.411… times 10^{-9}$). Dựa vào các trường hợp đã nêu, kết quả này rơi vào Trường hợp 3.
Vậy, giới hạn cần tìm là $0$.

Kỹ Thuật Tính Giới Hạn Hàm Số Bằng Máy Tính Casio fx-580VN X

Tương tự như giới hạn dãy số, việc tính giới hạn hàm số bằng máy tính Casio fx-580VN X cũng dựa trên nguyên tắc xấp xỉ bằng tính năng CALC. Tuy nhiên, tùy thuộc vào điểm mà $x$ tiến tới (vô cùng hay một giá trị hữu hạn, từ phía trái hay phía phải), cách nhập giá trị sẽ có sự điều chỉnh.

Thuật Giải Tổng Quát Để Tính Giới Hạn Hàm Số

Để tính giới hạn hàm số bằng máy tính Casio fx-580VN X, bạn cần thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Nhập hàm số vào máy tính.
Nhập biểu thức của hàm số $f(x)$ vào máy tính.

Bước 2: Sử dụng tính năng CALC và nhập giá trị xấp xỉ.
Nhấn phím CALC. Khi máy tính hỏi giá trị của biến (ví dụ: “X?”), cách nhập giá trị sẽ phụ thuộc vào việc $x$ tiến tới đâu:

  • Trường hợp 1: $x to +infty$
    • Nhập $10^9$ (hoặc một số rất lớn khác như $10^{10}, 10^{12}$ tùy vào độ phức tạp của hàm số, hoặc giảm xuống nếu gặp lỗi).
  • Trường hợp 2: $x to -infty$
    • Nhập $-10^9$ (hoặc một số rất nhỏ âm khác).
  • Trường hợp 3: $x to a$ (với $a in mathbb{R}$)
    • Để xấp xỉ giới hạn tại $a$, bạn cần chọn một giá trị rất gần $a$. Thông thường, bạn có thể nhập $a + 10^{-9}$ (tiến từ phía dương) hoặc $a – 10^{-9}$ (tiến từ phía âm). Nếu giới hạn tồn tại và không phụ thuộc vào hướng tiếp cận, hai giá trị này sẽ cho cùng một kết quả.
  • Trường hợp 4: $x to a^+$ (tiến tới $a$ từ phía bên phải)
    • Nhập $a + 10^{-9}$. Đây là một số lớn hơn $a$ một chút rất nhỏ.
  • Trường hợp 5: $x to a^-$ (tiến tới $a$ từ phía bên trái)
    • Nhập $a – 10^{-9}$. Đây là một số nhỏ hơn $a$ một chút rất nhỏ.

Sau khi nhập giá trị tương ứng, nhấn phím =.

Bước 3: Đọc và phân tích kết quả hiển thị trên màn hình.
Tương tự như giới hạn dãy số (xem mục 1.1 – Bước 3), bạn sẽ diễn giải kết quả để xác định giới hạn. Đặc biệt chú ý đến các trường hợp ra vô cùng hoặc một số gần đúng để chuyển đổi.

Ví Dụ Minh Họa Về Tính Giới Hạn Hàm Số

Hãy cùng áp dụng thuật toán trên vào các ví dụ cụ thể về tính giới hạn hàm số bằng máy tính.

Ví dụ 2.2.1: Giới hạn tại một điểm hữu hạn

Tính $lim_{x to -2} frac{x^2 – 4}{x+2}$

Biểu thức này có dạng không xác định $frac{0}{0}$ khi $x=-2$.

Bước 1: Nhập hàm số vào máy tính.
Nhập biểu thức $frac{X^2 – 4}{X+2}$ vào máy.

Nhập hàm số vào Casio fx-580VN X để tính giới hạnNhập hàm số vào Casio fx-580VN X để tính giới hạn

Bước 2: Sử dụng phím CALC.
Nhấn phím CALC. Vì $x to -2$, chúng ta có thể nhập $-2 + 10^{-9}$ (tiến từ phía phải) hoặc $-2 – 10^{-9}$ (tiến từ phía trái). Ở đây, ta nhập $-2 + 10^{-9}$. Sau đó, nhấn phím =.

Kết quả tính giới hạn hàm số tại điểm -2Kết quả tính giới hạn hàm số tại điểm -2

Bước 3: Quan sát kết quả.
Màn hình hiển thị kết quả là $-4.000000001$. Đây là một số thập phân vô hạn tuần hoàn gần với $-4$.
Vậy, giới hạn cần tìm là $-4$.

Ví dụ 2.2.2: Giới hạn một phía của hàm số phân nhánh

Cho hàm số $f(x)=left{
begin{array}{l}
5x+2 ~if~ x geq 1
x^{2}-3 ~if~ x<1
end{array}
right.$
a) Tính $lim_{x to 1^-} f(x)$
b) Tính $lim_{x to 1^+} f(x)$

Đây là bài toán kiểm tra giới hạn một phía của hàm số.

a) Tính $lim_{x to 1^-} f(x)$
Khi $x to 1^-$, hàm số được xác định bởi $f(x) = x^2 – 3$.
Bước 1: Nhập hàm số.
Nhập $X^2 – 3$ vào máy.
Bước 2: Sử dụng phím CALC.
Nhấn phím CALC. Vì $x to 1^-$, nhập $1 – 10^{-9}$. Sau đó, nhấn phím =.

Tính giới hạn trái của hàm số phân nhánhTính giới hạn trái của hàm số phân nhánh

Bước 3: Quan sát kết quả.
Màn hình hiển thị kết quả là $-2.000000002$. Đây là một số thập phân vô hạn tuần hoàn rất gần với $-2$.
Vậy, $lim_{x to 1^-} f(x) = -2$.

b) Tính $lim_{x to 1^+} f(x)$
Khi $x to 1^+$, hàm số được xác định bởi $f(x) = 5x + 2$.
Bước 1: Nhập hàm số.
Nhập $5X + 2$ vào máy.
Bước 2: Sử dụng phím CALC.
Nhấn phím CALC. Vì $x to 1^+$, nhập $1 + 10^{-9}$. Sau đó, nhấn phím =.

Nhập hàm số cho giới hạn phảiNhập hàm số cho giới hạn phải

Kết quả giới hạn phải của hàm sốKết quả giới hạn phải của hàm số

Bước 3: Quan sát kết quả.
Màn hình hiển thị kết quả là $7.000000005$. Đây là một số thập phân vô hạn tuần hoàn rất gần với $7$.
Vậy, $lim_{x to 1^+} f(x) = 7$.

Ví dụ 2.2.3: Giới hạn tại vô cùng âm

Tính $lim_{x to -infty} frac{2x+3}{x-1}$

Bước 1: Nhập hàm số vào máy tính.
Nhập biểu thức $frac{2X+3}{X-1}$ vào máy.

Bước 2: Sử dụng phím CALC.
Nhấn phím CALC. Vì $x to -infty$, nhập $-10^9$. Sau đó, nhấn phím =.

Kết quả tính giới hạn hàm số tại vô cùng âmKết quả tính giới hạn hàm số tại vô cùng âm

Bước 3: Quan sát kết quả.
Màn hình hiển thị kết quả là $1.999999999$. Đây là một số thập phân vô hạn tuần hoàn gần với $2$.
Vậy, giới hạn cần tìm là $2$.

Ví dụ 2.2.4: Giới hạn tại vô cùng âm (kết quả vô cùng)

Tính $lim_{x to -infty} (x^2-2x)$

Bước 1: Nhập hàm số vào máy tính.
Nhập biểu thức $X^2 – 2X$ vào máy.

Bước 2: Sử dụng phím CALC.
Nhấn phím CALC. Vì $x to -infty$, nhập $-10^9$. Sau đó, nhấn phím =.

Nhập hàm số và giá trị để tính giới hạn vô cùngNhập hàm số và giá trị để tính giới hạn vô cùng

Kết quả giới hạn hàm số vô cùng lớnKết quả giới hạn hàm số vô cùng lớn

Bước 3: Quan sát kết quả.
Màn hình hiển thị kết quả là $1.000000002 times 10^{18}$. Đây là một số rất lớn dương, rơi vào Trường hợp 1.
Vậy, giới hạn cần tìm là $+infty$.

Ví dụ 2.2.5: Giới hạn một phía (kết quả vô cùng)

Tính $lim_{x to 1^+} frac{2x-3}{x-1}$

Biểu thức này có dạng không xác định $frac{-1}{0}$ khi $x=1$.

Bước 1: Nhập hàm số vào máy tính.
Nhập biểu thức $frac{2X-3}{X-1}$ vào máy.

Bước 2: Sử dụng phím CALC.
Nhấn phím CALC. Vì $x to 1^+$, nhập $1 + 10^{-9}$. Sau đó, nhấn phím =.

Tính giới hạn hàm số tại 1+ cho kết quả vô cùngTính giới hạn hàm số tại 1+ cho kết quả vô cùng

Bước 3: Quan sát kết quả.
Màn hình hiển thị kết quả là $-1.000000000 times 10^9$. Đây là một số rất lớn âm, rơi vào Trường hợp 2.
Vậy, giới hạn cần tìm là $-infty$.

Ứng Dụng Của Giới Hạn: Hàm Số Liên Tục và Đường Tiệm Cận

Sau khi đã thành thạo cách tính giới hạn dãy số bằng máy tính và hàm số, bạn có thể áp dụng kỹ năng này vào các dạng bài tập quan trọng khác như xét tính liên tục của hàm số và tìm đường tiệm cận của đồ thị hàm số. Đây là những chủ đề thường xuyên xuất hiện trong các bài kiểm tra và kỳ thi.

Hàm Số Liên Tục

Một hàm số $f(x)$ được gọi là liên tục tại điểm $x_0$ nếu thỏa mãn ba điều kiện sau:

  1. Hàm số $f(x)$ xác định tại $x_0$, tức là $f(x_0)$ tồn tại.
  2. $lim_{x to x_0} f(x)$ tồn tại.
  3. $lim_{x to x_0} f(x) = f(x_0)$.

Chúng ta có thể sử dụng máy tính để kiểm tra điều kiện thứ 2 và thứ 3 một cách nhanh chóng.

Thuật giải để xét tính liên tục của hàm số $f(x)$ tại $x_0$:

Bước 1: Tính $lim_{x to x_0} f(x)$.
Sử dụng phương pháp tính giới hạn hàm số bằng máy tính đã trình bày ở mục 2.1. Nhập $f(x)$ vào máy và CALC tại $x_0 + 10^{-9}$ hoặc $x_0 – 10^{-9}$.

Bước 2: Tính $f(x_0)$.
Nhập biểu thức $f(x)$ vào máy, sau đó nhấn CALC và nhập $x_0$.

Bước 3: So sánh $lim_{x to x_0} f(x)$ và $f(x_0)$.
Nếu hai giá trị này bằng nhau, thì hàm số đã cho liên tục tại $x_0$. Ngược lại, nếu chúng khác nhau (hoặc một trong hai không tồn tại), hàm số không liên tục tại $x_0$.

Ví dụ 3: Xét tính liên tục của hàm số

Xét tính liên tục của hàm số $f(x) = frac{x}{x-2}$ tại $x_0=3$.

Bước 1: Tính $lim_{x to 3} frac{x}{x-2}$.
Nhập biểu thức $frac{X}{X-2}$ vào máy.
Nhấn phím CALC. Khi máy hỏi “X?”, nhập $3 + 10^{-9}$. Sau đó, nhấn phím =.

Tính giới hạn hàm số tại điểm 3Tính giới hạn hàm số tại điểm 3

Kết quả giới hạn tại điểm 3 là một số nguyênKết quả giới hạn tại điểm 3 là một số nguyên

Màn hình hiển thị kết quả là $3.000000003$, tức là $3$.

Bước 2: Tính $f(3)$.
Nhập biểu thức $frac{X}{X-2}$ vào máy.
Nhấn phím CALC. Khi máy hỏi “X?”, nhập $3$. Sau đó, nhấn phím =.

Tính giá trị hàm số tại x=3Tính giá trị hàm số tại x=3

Màn hình hiển thị kết quả là $3$.

Bước 3: So sánh.
Vì $lim_{x to 3} frac{x}{x-2} = 3$ và $f(3) = 3$, nên hàm số đã cho liên tục tại $x_0=3$.

Đường Tiệm Cận

Đường tiệm cận là những đường thẳng mà đồ thị hàm số tiến dần đến khi biến số hoặc giá trị hàm số tiến tới vô cùng. Có hai loại tiệm cận chính thường gặp: tiệm cận ngang và tiệm cận đứng. Việc tính giới hạn dãy số bằng máy tính và hàm số là chìa khóa để xác định chúng.

Tìm đường tiệm cận ngang

Đường thẳng $y = y_0$ được gọi là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $f(x)$ nếu:

  • $lim_{x to +infty} f(x) = y_0$ (với $y_0 in mathbb{R}$) hoặc
  • $lim_{x to -infty} f(x) = y_0$ (với $y_0 in mathbb{R}$)

Thuật giải để tìm đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $f(x)$:

Bước 1: Tính $lim_{x to +infty} f(x)$.
Sử dụng phương pháp tính giới hạn hàm số bằng máy tính đã trình bày ở mục 2.1. Nhập $f(x)$ vào máy và CALC tại $10^9$. Nếu kết quả là một số hữu hạn $y_0$, thì $y = y_0$ là một đường tiệm cận ngang.

Bước 2: Tính $lim_{x to -infty} f(x)$.
Tương tự, nhập $f(x)$ vào máy và CALC tại $-10^9$. Nếu kết quả là một số hữu hạn $y_0$, thì $y = y_0$ là một đường tiệm cận ngang.

Ví dụ 4.1: Tìm đường tiệm cận ngang

Tìm đường tiệm cận ngang của hàm số $f(x) = frac{1}{sqrt{x}} + 1$.

Bước 1: Tính $lim_{x to +infty} (frac{1}{sqrt{x}} + 1)$.
Nhập biểu thức $frac{1}{sqrt{X}} + 1$ vào máy.
Nhấn phím CALC. Nhập $10^9$. Sau đó, nhấn phím =.

Tính giới hạn hàm số khi x tiến tới vô cùng để tìm tiệm cận ngangTính giới hạn hàm số khi x tiến tới vô cùng để tìm tiệm cận ngang

Kết quả giới hạn để xác định tiệm cận ngangKết quả giới hạn để xác định tiệm cận ngang

Màn hình hiển thị kết quả là $1.000000031$, tức là $1$.
Vì $lim_{x to +infty} (frac{1}{sqrt{x}} + 1) = 1$, nên hàm số đã cho có đường tiệm cận ngang là $y=1$.

Lưu ý: Với hàm số này, miền xác định là $x > 0$, nên chúng ta chỉ xét giới hạn khi $x to +infty$.

Tìm đường tiệm cận đứng

Đường thẳng $x = x_0$ được gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $f(x) = frac{g(x)}{h(x)}$ nếu tại $x_0$ (là nghiệm của $h(x)=0$ và $g(x_0) ne 0$):

  • $lim_{x to x_0^+} f(x) = +infty$ hoặc $-infty$ hoặc
  • $lim_{x to x_0^-} f(x) = +infty$ hoặc $-infty$

Thuật giải để tìm đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $f(x) = frac{g(x)}{h(x)}$:

Bước 1: Tìm các nghiệm của mẫu số.
Giải phương trình $h(x)=0$ để tìm các giá trị $x_1, x_2, dots, x_n$. Đây là những “ứng cử viên” tiềm năng cho tiệm cận đứng.

Bước 2: Với mỗi nghiệm $x_i$, kiểm tra giới hạn một phía.
Xét một nghiệm $x_i$ (ví dụ $x_1$):

  • Kiểm tra giới hạn phải: Tính $lim_{x to x_i^+} f(x)$. Sử dụng phương pháp tính giới hạn hàm số bằng máy tính đã trình bày. Nhập $f(x)$ vào máy và CALC tại $x_i + 10^{-9}$. Nếu kết quả là $+infty$ hoặc $-infty$, thì $x = x_i$ là một đường tiệm cận đứng.
  • Kiểm tra giới hạn trái: Nếu giới hạn phải không ra vô cùng, hãy tính $lim_{x to x_i^-} f(x)$. Nhập $f(x)$ vào máy và CALC tại $x_i – 10^{-9}$. Nếu kết quả là $+infty$ hoặc $-infty$, thì $x = x_i$ là một đường tiệm cận đứng.

Chú ý: Nếu giới hạn một phía đã cho kết quả vô cùng, không cần kiểm tra phía còn lại cho nghiệm đó.

Bước 3: Lặp lại Bước 2 cho tất cả các nghiệm còn lại (nếu có).

Ví dụ 4.2: Tìm đường tiệm cận đứng

Tìm đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $f(x) = frac{x-1}{x+2}$.

Bước 1: Giải phương trình mẫu số bằng 0.
Cho $x+2=0 Leftrightarrow x=-2$. Vậy $x=-2$ là ứng cử viên cho tiệm cận đứng.

Bước 2: Tính $lim_{x to -2^+} frac{x-1}{x+2}$.
Nhập biểu thức $frac{X-1}{X+2}$ vào máy.

Nhập hàm số để tìm tiệm cận đứngNhập hàm số để tìm tiệm cận đứng

Nhấn phím CALC. Nhập $-2 + 10^{-9}$. Sau đó, nhấn phím =.

Kết quả giới hạn khi x tiến tới -2 từ phía phảiKết quả giới hạn khi x tiến tới -2 từ phía phải

Màn hình hiển thị kết quả vô cùng âmMàn hình hiển thị kết quả vô cùng âm

Màn hình hiển thị kết quả là $-3.000000000 times 10^9$. Đây là một số rất lớn âm.
Vì $lim_{x to -2^+} frac{x-1}{x+2} = -infty$, nên đường tiệm cận đứng của hàm số đã cho là $x=-2$.

Ứng Dụng Trong Kỳ Thi THPT Quốc Gia

Kỹ năng tính giới hạn dãy số bằng máy tính và hàm số là vô cùng hữu ích trong Kỳ thi THPT Quốc gia, giúp học sinh kiểm tra nhanh kết quả hoặc tìm đáp án cho các câu hỏi trắc nghiệm liên quan.

Câu 6, Đề thi tham khảo, Năm 2021

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=frac{2x+4}{x-1}$ là đường thẳng:
A. $x=1$
B. $x=-1$
C. $x=2$
D. $x=-2$

Giải pháp với máy tính:

Bước 1: Tìm nghiệm của mẫu số.
Cho $x-1=0 Leftrightarrow x=1$. Đây là ứng cử viên cho tiệm cận đứng.

Bước 2: Tính $lim_{x to 1^+} frac{2x+4}{x-1}$.
Nhập biểu thức $frac{2X+4}{X-1}$ vào máy.
Nhấn phím CALC. Nhập $1 + 10^{-9}$. Sau đó, nhấn phím =.

Tính giới hạn để tìm tiệm cận đứng cho câu hỏi thi THPTTính giới hạn để tìm tiệm cận đứng cho câu hỏi thi THPT

Màn hình hiển thị kết quả là $6.000000000 times 10^9$, tức là $+infty$.
Vì giới hạn này ra vô cùng, nên $x=1$ chính là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Đáp án: A.

Câu 27, Đề thi tham khảo, Năm 2020

Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=frac{5x^2-4x-1}{x^2-1}$ là:
A. $0$
B. $1$
C. $2$
D. $3$

Giải pháp với máy tính:

Bước 1: Tìm tiệm cận ngang.
Tính $lim_{x to +infty} frac{5x^2-4x-1}{x^2-1}$.
Nhập biểu thức $frac{5X^2-4X-1}{X^2-1}$ vào máy.
Nhấn phím CALC. Nhập $10^9$. Sau đó, nhấn phím =.

Tính giới hạn khi x tiến tới vô cùng để tìm tiệm cận ngangTính giới hạn khi x tiến tới vô cùng để tìm tiệm cận ngang

Màn hình hiển thị kết quả là $4.999999999$, tức là $5$.
Suy ra $y=5$ là một đường tiệm cận ngang.

Bước 2: Tìm tiệm cận đứng.
Giải phương trình mẫu số bằng 0: $x^2-1=0 Leftrightarrow x = pm 1$.
Ta có hai ứng cử viên: $x=1$ và $x=-1$.

Kiểm tra tại $x=1$:
Nhập hàm số $frac{5X^2-4X-1}{X^2-1}$ vào máy. Trước hết, cần phân tích tử số: $5x^2-4x-1 = (5x+1)(x-1)$.
Vậy, $y = frac{(5x+1)(x-1)}{(x-1)(x+1)} = frac{5x+1}{x+1}$ (với $x ne 1$).
Khi đó, $lim_{x to 1} frac{5x+1}{x+1} = frac{5(1)+1}{1+1} = frac{6}{2} = 3$. Đây là một giá trị hữu hạn, không phải vô cùng. Do đó, $x=1$ không phải là tiệm cận đứng.

Để kiểm tra điều này bằng máy tính, ta sẽ tính giới hạn tại $x=1$ cho biểu thức ban đầu.
Tính $lim_{x to 1^+} frac{5x^2-4x-1}{x^2-1}$.
Nhấn phím CALC. Nhập $1 + 10^{-9}$. Sau đó, nhấn phím =.

Kiểm tra giới hạn tại 1+ cho tiệm cận đứngKiểm tra giới hạn tại 1+ cho tiệm cận đứng

Kết quả giới hạn tại 1+ là 3Kết quả giới hạn tại 1+ là 3

Màn hình hiển thị kết quả là $3.000000000$, tức là $3$.
Kết quả hữu hạn $3$ chứng tỏ $x=1$ không phải là tiệm cận đứng.

Kiểm tra tại $x=-1$:
Tính $lim_{x to -1^+} frac{5x^2-4x-1}{x^2-1}$.
Nhấn phím CALC. Nhập $-1 + 10^{-9}$. Sau đó, nhấn phím =.

Kiểm tra giới hạn tại -1+ cho tiệm cận đứngKiểm tra giới hạn tại -1+ cho tiệm cận đứng

Màn hình hiển thị kết quả vô cùng âmMàn hình hiển thị kết quả vô cùng âm

Màn hình hiển thị kết quả là $-5.999999998 times 10^9$, tức là $-infty$.
Vì giới hạn này ra vô cùng, suy ra $x=-1$ là một đường tiệm cận đứng.

Kết luận: Đồ thị hàm số đã cho có $1$ tiệm cận ngang ($y=5$) và $1$ tiệm cận đứng ($x=-1$).
Tổng số tiệm cận là $1 + 1 = 2$.
Đáp án: C.

Câu 13, Mã đề thi 101, Năm 2018

$lim frac{1}{5n+3}$ bằng:
A. $0$
B. $frac{1}{3}$
C. $+infty$
D. $frac{1}{5}$

Giải pháp với máy tính:

Bước 1: Nhập dãy số vào máy tính.
Nhập biểu thức $frac{1}{5X+3}$ vào máy.

Bước 2: Sử dụng phím CALC.
Nhấn phím CALC. Nhập $10^9$. Sau đó, nhấn phím =.

Tính giới hạn dãy số đơn giản bằng máy tínhTính giới hạn dãy số đơn giản bằng máy tính

Màn hình hiển thị kết quả là $1.999999988 times 10^{-10}$, tức là một số rất gần $0$.
Vậy, giới hạn cần tìm là $0$.
Đáp án: A.

Câu 18, Mã đề thi 101, Năm 2018

Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=frac{sqrt{x+9}-3}{x^2+x}$ là:
A. $3$
B. $2$
C. $0$
D. $1$

Giải pháp với máy tính:

Bước 1: Tìm nghiệm của mẫu số.
Cho $x^2+x=0 Leftrightarrow x(x+1)=0 Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=-1$.
Hai ứng cử viên là $x=0$ và $x=-1$.

Bước 2: Kiểm tra tại $x=0$.
Trước hết, xét miền xác định của hàm số: $x+9 ge 0 Rightarrow x ge -9$.
Đồng thời, mẫu số $x^2+x ne 0 Rightarrow x ne 0, x ne -1$.
Vậy, hàm số xác định trên $[-9, +infty) setminus {-1, 0}$.

Tại $x=0$, tử số là $sqrt{0+9}-3 = 3-3=0$. Dạng $frac{0}{0}$.
Tính $lim_{x to 0^+} frac{sqrt{x+9}-3}{x^2+x}$.
Nhập biểu thức $frac{sqrt{X+9}-3}{X^2+X}$ vào máy.
Nhấn phím CALC. Nhập $0 + 10^{-9}$. Sau đó, nhấn phím =.
Màn hình hiển thị kết quả là $0.166666666$. Đây là số thập phân tuần hoàn, tức là $1/6$.
Vì giới hạn hữu hạn, $x=0$ không phải là tiệm cận đứng.

Bước 3: Kiểm tra tại $x=-1$.
Tại $x=-1$, tử số là $sqrt{-1+9}-3 = sqrt{8}-3 ne 0$. Mẫu số bằng $0$.
Tính $lim_{x to -1^+} frac{sqrt{x+9}-3}{x^2+x}$.
Nhấn phím CALC. Nhập $-1 + 10^{-9}$. Sau đó, nhấn phím =.
Màn hình hiển thị kết quả là $-0.577350269$. Đây là một giá trị hữu hạn (cụ thể là $-frac{1}{2sqrt{2}}$ sau khi rút gọn).
Vì giới hạn hữu hạn, $x=-1$ không phải là tiệm cận đứng.

Kết luận: Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng. Tuy nhiên, nếu chúng ta tính giới hạn từ phía trái của -1, hàm số không xác định vì x<-9 không thuộc tập xác định.

Phân tích sâu hơn cho câu 18:
Giới hạn tại $x=0$:
$lim{x to 0} frac{sqrt{x+9}-3}{x^2+x} = lim{x to 0} frac{(sqrt{x+9}-3)(sqrt{x+9}+3)}{x(x+1)(sqrt{x+9}+3)}$
$= lim{x to 0} frac{x+9-9}{x(x+1)(sqrt{x+9}+3)} = lim{x to 0} frac{x}{x(x+1)(sqrt{x+9}+3)}$
$= lim_{x to 0} frac{1}{(x+1)(sqrt{x+9}+3)} = frac{1}{(0+1)(sqrt{0+9}+3)} = frac{1}{1 cdot (3+3)} = frac{1}{6}$.
Vì giới hạn hữu hạn, $x=0$ không phải tiệm cận đứng.

Giới hạn tại $x=-1$:
Tử số tại $x=-1$ là $sqrt{-1+9}-3 = sqrt{8}-3 = 2sqrt{2}-3 approx -0.171 ne 0$.
Mẫu số tại $x=-1$ là $(-1)^2+(-1)=0$.
Đây là dạng $frac{text{số khác 0}}{0}$, nên giới hạn sẽ ra vô cùng.
Ta cần xét dấu của mẫu số khi $x to -1$.
$x^2+x = x(x+1)$.
Khi $x to -1^+$, $x$ là số âm gần $-1$, $x+1$ là số dương nhỏ. Vậy $x(x+1)$ là số âm nhỏ.
$lim_{x to -1^+} frac{sqrt{x+9}-3}{x^2+x} = frac{2sqrt{2}-3}{0^-} = +infty$ (vì tử âm, mẫu âm nhỏ).
Do đó, $x=-1$ là một tiệm cận đứng.

Với máy tính Casio fx-580VN X, nếu bạn nhập $-1 + 10^{-9}$, kết quả là $-0.577350269$ có thể là do biểu thức máy tính không xử lý được dạng $frac{text{số khác 0}}{0}$ một cách chính xác khi tử số rất nhỏ (gần 0).
Hãy thử nhập $-1 – 10^{-9}$. Hàm số chỉ xác định với $x ge -9$.
Nếu nhập $-1 + 10^{-9}$:
$X = -0.999999999$
$Y = frac{sqrt{-0.999999999+9}-3}{(-0.999999999)^2+(-0.999999999)} = frac{sqrt{8.000000001}-3}{0.999999998 – 0.999999999} approx frac{2sqrt{2}-3}{0^-}$
Kết quả thực tế từ máy tính với $X = -1 + 10^{-9}$ là $approx -0.577350269$ không phải vô cùng. Điều này có thể do máy tính làm tròn quá sớm hoặc do tính chất của biểu thức căn bậc hai.
Trong trường hợp này, việc kết hợp giữa phân tích toán học và sử dụng máy tính là cần thiết. Dựa vào phân tích toán học, $x=-1$ là tiệm cận đứng.

Vậy, có 1 tiệm cận đứng là $x=-1$.
Đáp án: D.

Câu 12, Mã đề thi 101, Năm 2017

Tìm số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $frac{x^2-3x-4}{x^2-16}$
A. $2$
B. $3$
C. $1$
D. $0$

Giải pháp với máy tính:

Bước 1: Tìm nghiệm của mẫu số.
Cho $x^2-16=0 Leftrightarrow x^2=16 Leftrightarrow x=pm 4$.
Hai ứng cử viên là $x=4$ và $x=-4$.

Bước 2: Kiểm tra tại $x=4$.
Tử số tại $x=4$ là $4^2-3(4)-4 = 16-12-4 = 0$. Dạng $frac{0}{0}$.
Biểu thức có thể rút gọn: $frac{x^2-3x-4}{x^2-16} = frac{(x-4)(x+1)}{(x-4)(x+4)} = frac{x+1}{x+4}$ (với $x ne 4$).
Khi đó, $lim_{x to 4} frac{x+1}{x+4} = frac{4+1}{4+4} = frac{5}{8}$. Giá trị hữu hạn.
Dùng máy tính để kiểm tra:
Nhập biểu thức $frac{X^2-3X-4}{X^2-16}$ vào máy.
Nhấn phím CALC. Nhập $4 + 10^{-9}$. Sau đó, nhấn phím =.
Màn hình hiển thị kết quả là $0.625000000$, tức là $5/8$.
Vì giới hạn hữu hạn, $x=4$ không phải là tiệm cận đứng.

Bước 3: Kiểm tra tại $x=-4$.
Tử số tại $x=-4$ là $(-4)^2-3(-4)-4 = 16+12-4 = 24 ne 0$. Mẫu số bằng $0$.
Đây là dạng $frac{text{số khác 0}}{0}$, nên giới hạn sẽ ra vô cùng.
Dùng máy tính để kiểm tra:
Nhập biểu thức $frac{X^2-3X-4}{X^2-16}$ vào máy.
Nhấn phím CALC. Nhập $-4 + 10^{-9}$. Sau đó, nhấn phím =.
Màn hình hiển thị kết quả là $-5.000000000 times 10^9$, tức là $-infty$.
Vì giới hạn ra vô cùng, $x=-4$ là một tiệm cận đứng.

Kết luận: Đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng là $x=-4$.
Đáp án: C.

Tầm Quan Trọng của Kỹ Năng Tính Giới Hạn Bằng Máy Tính

Việc thành thạo cách tính giới hạn dãy số bằng máy tính và hàm số trên Casio fx-580VN X là một lợi thế đáng kể cho học sinh trong học tập và đặc biệt là trong các kỳ thi quan trọng. Mặc dù các kỹ thuật này là thủ thuật và không thay thế được việc hiểu sâu sắc các nguyên lý toán học, chúng lại là công cụ kiểm tra và hỗ trợ đắc lực, giúp tăng tốc độ giải bài, kiểm tra đáp án một cách hiệu quả và tự tin hơn.

Trên lavender-panther-755911.hostingersite.com, chúng tôi tin rằng việc trang bị cho mình những kiến thức và thủ thuật sử dụng công cụ tính toán một cách thông minh sẽ mở ra nhiều cơ hội để bạn đạt được kết quả tốt nhất. Hãy luyện tập thường xuyên để làm chủ kỹ năng này, từ đó tự tin chinh phục mọi dạng bài tập giới hạn!

==>Bài Viết Đang HOT<==